실베스터-갈라이 정리와 켈리의 증명
유클리드 평면 위의 직선 위에 있지 않은 유한 개의 점들이 주어졌을 때, 반드시 정확히 두 점만을 지나는 직선이 존재한다는 수학 정리입니다. 미시간 주립대학교의 수학자 리로이 밀턴 켈리(Leroy Milton Kelly)는 점과 직선 사이의 최단 거리를 활용한 기발한 귀류법으로 이를 증명했습니다. 해당 글은 복잡한 기하학적 명제를 직관적이고 우아하게 증명하는 과정을 보여줍니다.
실베스터-갈라이 정리(Sylvester–Gallai Theorem)
유클리드 평면 위에 있는 직선 위에 놓이지 않은(한 직선 위에 있지 않은) 유한 개의 점들의 집합에는 정확히 두 개의 점만을 지나는 직선이 항상 존재한다. 이 증명은 미시간 주립대학교의 수학자 리로이 밀턴 켈리(Leroy Milton Kelly)의 것이다.
한 직선 위에 있지 않은 점들의 집합 S를 생각해 보자. 그리고 이 점들 중 적어도 두 점을 지나는 직선을 '연결 직선(connecting line)'이라고 정의하자. 집합 내의 모든 점-직선 쌍 중에서, 서로 가장 가까운 거리에 있는 점 P와 연결 직선 ℓ이 반드시 존재해야 한다.
이제 켈리는 직선 ℓ이 집합 S의 점을 오직 두 개만 포함한다는 것을 증명한다. 이것이 사실이 아니라고 가정해 보자. 즉, 직선 ℓ이 집합 S의 점을 두 개 이상 포함한다고 가정한다. 그렇다면 이 직선은 집합 내의 적어도 세 개의 점을 지나야 한다. 이 세 점 중 적어도 두 점은 점 P에서 직선 ℓ에 내린 수선의 발 P′의 동일한 편에 위치해야 한다. 이 두 점을 B와 C라고 부르자(여기서 B가 P′에 더 가까운 점이다).
만약 점 P와 점 C를 지나는 연결 직선 𝓂를 그리고, 점 B에서 직선 𝓂에 수선의 발 B′을 그린다면, BB′의 길이는 PP′의 길이보다 짧아지게 된다(삼각형 PP′C와 BB′C가 닮음이기 때문이다). 이는 모순이다. 앞서 우리는 P와 ℓ을 집합 내의 다른 어떤 점-직선 쌍보다도 가까운 쌍으로 정의했기 때문이다. 따라서 직선 ℓ이 두 개 이상의 점을 포함한다는 우리의 가정은 거짓일 수밖에 없다.
2026년 7월 26일 2026년 7월 25일 | 과학 & 수학